75 replies to this topic

[myle]

1.4^(1.4^1.4) > 1.4 και όσο πάει και μεγαλώνει
άρα αποκλείνει στο άπειρο.
Η λύση πιστεύω είναι οποιοσδήποτε αριθμός ανάμεσα στο 0 και στο 1. Τώρα αν έχεις ανακαλύψει τίποτα κουφό που δεν το έλαβα υπόψη μου πάω πάσο.

[Melkor]

αν ειναι αναμεσα στο 0 κα ιστο 1 τοτε το ααποτελεσμα θα τεινει στο 0.

[Kenny]

1.4^(1.4^1.4) > 1.4 και όσο πάει και μεγαλώνει
άρα αποκλείνει στο άπειρο.

Όσο πάει και μεγαλώνει, αλλά με ολοένα και μικρότερο ρυθμό, μέχρι που καταλήγει -ασυμπτωτικά- κάπου.

OK, αύριο το παίρνει το ποτάμι.

[samurai_pizza_dora]

Kοιτα οπως το λες ακουγεται σαν συναρτηση.ο_Ο
Ειναι δυνατον να ειναι καθαρος αριθμος?
Καλα παντως κατι μου θυμιζει η συγκεκριμενη ερωτηση.Kατι με το e.
Δηλ πρεπει μαλλον το αποτελεσμα να τεινει στο e.Αλλα αυτο δεν εχει σχεση με το (1+1/n)^n με n να τεινει απειρο.
Καπως αλλιως μαλλον θα πρεπει καποιος να το τροποποιησει αυτο.Αλλα δεν ειναι κανονικος αριθμος αυτο...
Δεν ξερω!
Δεν μπορω να φανταστω κανονικο αριθμο με τετοια ιδιοτητα...

[psofia]

Να ρωτήσω κάτι, επειδή δεν θυμάμαι: οι περιοδικοί είναι ρητοί ή άρρητοι?

[AndroGhost]

αρητοι ειναι οσοι δε μπορουν να περιγραφουν με τη μορφη κλασματος
αριθμοι οπως ο π, ε
περιοδικοι δε ξερω τι ειναι

[Shadowstrike]

περιοδικι ειναι εκεινοι που τα φιγια τους επαναλαμβανονται
δλδ παει 0.123123123123123

τα 123 επαναλαμβανονται συνεχως..
αυτο πρεπει να ειναι

[Kenny]

Όλοι οι περιοδικοί είναι ρητοί.

Επίσης, σωστά μάντεψε η SPD ότι για την τιμή του α που ψάχνουμε, το α^(α^(α^(α^(... τείνει στον e, οπότε -ένα τελευταίο hint- ο α έχει σχέση με τον e.

[Leon]

Μισώ τα Homunculus. Τώρα το πήρα πρέφα το αινιγματάκι. 4 το χάραμα και 8 έχω matlab. Και ακόμα δεν μπορώ να καταλάβω γιατί το 1 δεν είναι. Τέσπα. Μήπως είναι το e^ln;

[AndroGhost]

e^ln?
αυτο δεν ειναι καν αριθμος

[Leon]

e^ln?
αυτο δεν ειναι καν αριθμος

Don't be picky now:nosey:

[Darthnicolas]

Α ρε Kenny τι μας κάνεις τώρα...
Ψιλοθυμάμαι κάτι ανάλογο να είχαμε κάνει στο λύκειο αλλά ποιος κάνει εκσκαφές τώρα...

[Quajafrie]

Μα ποιος είπε ότι το 1 δεν είναι; Απλά απ' ότι φαίνεται δεν είναι ο μέγιστος αριθμός.

Επίσης, σωστά μάντεψε η SPD ότι για την τιμή του α που ψάχνουμε, το α^(α^(α^(α^(... τείνει στον e, οπότε -ένα τελευταίο hint- ο α έχει σχέση με τον e.

Μήπως είναι το lne; (ok, εξυπνάδες.)

Εγώ ως μικρός και ασχετούλης σκέφτομαι ότι θα έχει να κάνει με ln και την ιδιότητα του εκθέτη, δηλ. lnx^x=xlnx. Έτσι, lnx^(lnx^(lnx^(lnx... = lnx^... Οπότε πρέπει να βρεθεί ο αριθμός α ο οποίος είναι ln<κάτι> και όταν υψώνεται άπειρες φορές στον εαυτό του δεν φτάνει στο άκυρο. Δεν ξέρω πόσο προχώρησα το πράγμα.

Άρα θα πρέπει να βρούμε έναν a=lnx ώστε ένα geometric sequence με αρχικό αριθμό lnx και ratio lnx να μην τείνει προς το άπειρο.

ΜΙΣΟ ΛΕΠΤΟ! Αν τείνει προς τον e, τότε (sum to infinity) = e. Άρα, lnx/1-lnx = e <=> lnx=e-elnx <=> lnx+elnx=e <=> (1+e)lnx=e <=> lnx = a = e/1+e

Wait, αυτός ο αριθμός είναι μικρότερος του 1. Άρα ΑΚΥΡΟ.

[Kenny]

Τελικά την πιο καλή προσπάθεια την έκανε ο Quaja, ο οποίος δεν έχει φτάσει ακόμα 3η Λυκείου. Ωραίος, Τάσο, αλλά θες Παραγώγους για να το λύσεις.

Ακολουθεί η λύση μέσα σε spoiler. Όποιος θέλει να το λύσει μόνος του, ας το παλέψει με την ησυχία του κι ας έρθει μετά εδώ για επαλήθευση.

Spoiler:

Εφόσον το α^(α^(α^(α^(... δεν είναι άπειρο, τότε υπάρχει κάποιος πραγματικός αριθμός x (προφανώς θετικός), για τον οποίον ισχύει:

α^(α^(α^(α^(... = x (σχέση 1)

Τα δύο μέλη της σχέσης 1 τα κάνω εκθέτες σε ίσες βάσεις (διαλέγω για βάση τον α), και έχουμε και πάλι ισότητα:

α^(α^(α^(α^(α^(... = α^(x) (σχέση 2)

Και τώρα το φοβερό: Το πρώτο μέλος της σχέσης 1 με το πρώτο μέλος της σχέσης 2 είναι ακριβώς το ίδιο πράγμα (απειρία, γαρ). Οπότε τα δεύτερα μέλη είναι ίσα μεταξύ τους, άρα:

α^(x) = x (σχέση 3)

Ή:

α = x^(1/x) (σχέση 4)

Για να βρούμε τον μέγιστο δυνατό α, αρκεί να μελετήσουμε τη συνάρτηση f(x) = x^(1/x).

Η παράγωγός της είναι f'(x) = x^(1/x)*((1 - ln(x))/(x^2)), θετική για 0 < x < e και αρνητική για x > e. Άρα η f(x) παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο x = e, οπότε ο μέγιστος δυνατός α είναι ο e^(1/e) (περίπου ίσο με 1.44466786).

Κι όποιος εξακολουθεί να μην το πιστεύει, ας το επαληθεύσει στο Mathematica.

[samurai_pizza_dora]

Πωπωπωπωπωπω ειναι φοβεροοοοοοοοοοοοοοο!!!

Δεν μπορω να το διανοηθω!Τελικα τα μαθηματικα ειναι απειρα!Πραγματικα ηταν εκτος της λογικης μου οτι ενας και μονο αριθμος θα μπορουσε να εχει τοσο διαφορετικες ιδιοτητες απο τους αλλους φαινομενικα ομοιους του!
Αυτο ηταν ενα χτυπημα στη λογικη μου οπως εκεινο με τις πιθανοτητες και τις κουρτινες με τα αυτοκινητα και την αποδειξη του gauss για το οτι τα υψη ενος τριγωνου τεμνονται σε ενα κοινο σημειο!

Αχ συγκινηθηκα!Γιατι να μην εχουμε μαθηματικα στη σχολη μου!Τ_Τ(καλα νταξ εχουμε λιγο στατιστικη)